Проверка размерности

Порой, нам кажется, что размерности правой и левой частей формулы не совпадают. Тогда это либо ошибка, либо стоит вспомнить законы физики и проверить сводится ли одно выражение к другому.

Хочу напомнить, что любая физическая величина когда-то вводилась в обращение, и она имеет свою формулу – определение и описанный словесно физический смысл.

Рассмотрим  широко упортебляемую величину - силу. Она может встречаться в формулах  типа

F_ц.б.=F_ц.с.  (1).

Здесь с размерностями все впорядке, так как и справа и слева величины измеряются в ньютонах  [H]=[H].

А может встречаться и в таком  виде

F_цс = mV²/R  (2).

В этом случае для размерностей получаем [H]=[кг][м²/с²]/[м]  или, если упростить [H]=[кг][м/с²].

Что это ошибка? Нет. Это выражение второго закона Ньютона, который утверждает, что ускорение тела пропорционально приложенной к телу силе, а масса - это коэффциент этой пропорциональности.

Как правило, если мы встречаем выражение, где размерность правой и левой частей равны, то это условие, характеризующее конкретную физическую ситуцию. 

Выражение  (1) является условием равновесия сил. Например, при вращении шара на веревочке.  Но такое условие выполняется далеко не всегда. Так, для того, чтоб космический корабль  ушел с орбиты Земли в открытый космос условие будет  таким

F_ц.б. > F_ц.с. 

Условие, описывающее ситуацию, может выгляет так m_1^хg=m_2^хg или m₁=m₂, а в размерностях это будет [кг]=[кг].  

Это условие выполнится, когда чаши весов выравняются, а пока ситуация на картинке описывается как   m₁>m₂. 

В равенстве выражения справа и слева могут быть сложными. Так движение электрона вокруг  ядра в атоме водорода  мы описали равенством центробежной и центростремительной сил.

Подставим выражения для этих сил и получим    (3)

Проверим  размерность этого равенства.

Выражение слева имеет размерность  [кг][м/с²], а выражение справа - [м]/[Ф] *[Кл²]/[м²]= [Кл²]/[м] *[Ф], где  [м]/[Ф]=1/4Пe_0.

На первый взгляд они совешенно не похожи. Ошибка?

Вспомним, что фарады, кулоны и вольты можно выразить через другие величины

1 Ф = 1 Кл/1 В

1 Кл = 1 А·с     1В=  м² · кг · с⁻³ · A⁻¹  и подставим это  в выражение для размерности. 

Мы получили тоже самое выражение, что и для левой части равенства. Значит, формула (3) имеет право быть.

Давайте проверим размерность для этой  величины . Для этого подставляем размерность для каждого из трех множителей в выражение

 [a _кул]=[м³/кг]  * [Кл/кг]* [Кл/м²]=

Раскрываем скобки, сокращаем подобные члены и получаем

Заменяем выражение для размерности заряда через  [ кг/с] и опять сокращаем подобные члены 

Хорошо видно, что это размерность ускорения.